El escurridizo 'Einstein' resuelve un antiguo problema matemático

Y todo comenzó con un aficionado "jugueteando y experimentando con formas".

Un "monotile aperiódico", o einstein, es una forma que forma mosaicos en una superficie plana infinita en un patrón que no se repite. Los autores de un nuevo artículo llamaron a su einstein "el sombrero", ya que se asemeja a un sombrero de fieltro. Credit...Craig Kaplan

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Por Siobhan Roberts

En noviembre pasado, después de una década de intentos fallidos, David Smith, un aficionado a las formas autodenominado de Bridlington en East Yorkshire, Inglaterra, sospechó que finalmente podría haber resuelto un problema abierto en las matemáticas de mosaico: es decir, pensó que podría han descubierto un "einstein".

En términos menos poéticos, un einstein es un "monotile aperiódico", una forma que forma mosaicos en un plano, o una superficie plana bidimensional infinita, pero solo en un patrón que no se repite. (El término "einstein" proviene del alemán "ein stein" o "una piedra", más vagamente, "una baldosa" o "una forma".) Su típico papel tapiz o piso de baldosas es parte de un patrón infinito que se repite periódicamente ; cuando se desplaza o "traduce", el patrón puede superponerse exactamente a sí mismo. Una teselación aperiódica no muestra tal "simetría traslacional", y los matemáticos han buscado durante mucho tiempo una forma única que pudiera teselar el plano de esa manera. Esto se conoce como el problema de einstein.

"Siempre estoy jugando y experimentando con formas", dijo Smith, de 64 años, quien trabajó como técnico de impresión, entre otros trabajos, y se jubiló temprano. Aunque disfrutó de las matemáticas en la escuela secundaria, no sobresalió en ellas, dijo. Pero durante mucho tiempo ha estado "obsesivamente intrigado" por el problema de Einstein.

Y ahora, un nuevo artículo, del Sr. Smith y tres coautores con experiencia matemática y computacional, demuestra que el descubrimiento del Sr. Smith es cierto. Los investigadores llamaron a su einstein "el sombrero", ya que se asemeja a un sombrero de fieltro. (El Sr. Smith a menudo luce un pañuelo atado alrededor de su cabeza). El documento aún no ha sido revisado por pares.

"¡Esto parece ser un descubrimiento notable!" Joshua Socolar, físico de la Universidad de Duke que leyó una de las primeras copias del artículo proporcionado por The New York Times, en un correo electrónico. "El aspecto más significativo para mí es que el mosaico no cae claramente en ninguna de las clases familiares de estructuras que entendemos".

"El resultado matemático plantea algunas preguntas interesantes de física", agregó. "Uno podría imaginar encontrar o fabricar un material con este tipo de estructura interna". El Dr. Socolar y Joan Taylor, una investigadora independiente en Burnie, Tasmania, encontraron previamente un monotile hexagonal hecho de piezas desconectadas que, según algunos, excedió las reglas. (También encontraron una versión tridimensional conectada del mosaico Socolar-Taylor).

Inicialmente, las búsquedas matemáticas de teselado estaban motivadas por una pregunta amplia: ¿Había un conjunto de formas que podían teselar el plano solo de forma no periódica? En 1961, el matemático Hao Wang conjeturó que tales conjuntos eran imposibles, pero su alumno Robert Berger pronto demostró que la conjetura era incorrecta. El Dr. Berger descubrió un conjunto aperiódico de 20.426 fichas y, posteriormente, un conjunto de 104.

Entonces el juego se convirtió en: ¿Cuántas fichas harían el truco? En la década de 1970, Sir Roger Penrose, un físico matemático de la Universidad de Oxford que ganó el Premio Nobel de Física 2020 por su investigación sobre los agujeros negros, redujo el número a dos.

Desde entonces, otros han encontrado formas para dos fichas. "Tengo un par o dos propios", dijo Chaim Goodman-Strauss, otro de los autores del artículo, profesor de la Universidad de Arkansas, que también tiene el título de matemático de divulgación en el Museo Nacional de Matemáticas de Nueva York.

Señaló que los cuadrados blancos y negros también pueden formar patrones no periódicos extraños, además del patrón de tablero de ajedrez periódico familiar. "Es realmente bastante trivial poder hacer patrones extraños e interesantes", dijo. La magia de los dos mosaicos de Penrose es que solo crean patrones no periódicos: eso es todo lo que pueden hacer.

"Pero luego estaba el Santo Grial, ¿te vendría bien una... una ficha?" dijo la Dra. Goodman-Strauss.

Hace tan solo unos años, Sir Roger estaba en busca de un einstein, pero dejó de lado esa exploración. "Bajé el número a dos, ¡y ahora lo tenemos a uno!" dijo del sombrero. "Es un tour de force. No veo ninguna razón para no creerlo".

El documento proporcionó dos pruebas, ambas ejecutadas por Joseph Myers, coautor y desarrollador de software en Cambridge, Inglaterra. Una era una prueba tradicional, basada en un método anterior, más código personalizado; otro implementó una nueva técnica, no asistida por computadora, ideada por el Dr. Myers.

Sir Roger encontró las pruebas "muy complicadas". No obstante, estaba "extremadamente intrigado" por el einstein, dijo: "Es una forma realmente buena, sorprendentemente simple".

La simplicidad vino honestamente. Las investigaciones del Sr. Smith fueron en su mayoría a mano; uno de sus coautores lo describió como un "manitas imaginativo".

Para empezar, "jugueteaba" en la pantalla de la computadora con PolyForm Puzzle Solver, software desarrollado por Jaap Scherphuis, un entusiasta de los mosaicos y teórico de rompecabezas en Delft, Países Bajos. Pero si una forma tenía potencial, el Sr. Smith usó una máquina de corte Silhouette para producir un primer lote de 32 copias de cartulina. Luego encajaba los mosaicos, sin espacios ni superposiciones, como un rompecabezas, reflejando y rotando los mosaicos según fuera necesario.

"Siempre es bueno ser práctico", dijo el Sr. Smith. "Puede ser bastante meditativo. Y proporciona una mejor comprensión de cómo una forma se tesela o no".

Cuando en noviembre encontró un mosaico que parecía llenar el plano sin un patrón repetitivo, envió un correo electrónico a Craig Kaplan, coautor y científico informático de la Universidad de Waterloo.

"¿Podría esta forma ser una respuesta al llamado 'problema de Einstein'? Ahora, ¿no sería eso una cosa?" El Sr. Smith escribió.

"Estaba claro que algo inusual estaba sucediendo con esta forma", dijo el Dr. Kaplan. Tomando un enfoque computacional que se basó en investigaciones previas, su algoritmo generó franjas cada vez más grandes de mosaicos de sombreros. "No parecía haber ningún límite para el tamaño de una gota de mosaicos que el software podía construir", dijo.

Con estos datos sin procesar, el Sr. Smith y el Dr. Kaplan estudiaron a ojo la estructura jerárquica del mosaico. El Dr. Kaplan detectó y desbloqueó un comportamiento revelador que abrió una prueba de aperiodicidad tradicional: el método que los matemáticos "sacan del cajón cada vez que tienen un conjunto candidato de fichas aperiódicas", dijo.

El primer paso, dijo el Dr. Kaplan, fue "definir un conjunto de cuatro 'metátiles', formas simples que representan pequeños grupos de uno, dos o cuatro sombreros". Los metatiles se ensamblan en cuatro formas más grandes que se comportan de manera similar. Esta asamblea, desde metatiles a supertiles a supersupertiles, ad infinitum, cubrió "'pisos' matemáticos cada vez más grandes con copias del sombrero", dijo el Dr. Kaplan. "Luego mostramos que este tipo de ensamblaje jerárquico es esencialmente la única forma de colocar mosaicos en el avión con sombreros, lo que resulta ser suficiente para demostrar que nunca se puede colocar en mosaico periódicamente".

"Es muy inteligente", dijo en una entrevista el Dr. Berger, un ingeniero eléctrico jubilado de Lexington, Massachusetts. A riesgo de parecer quisquilloso, señaló que debido a que el mosaico del sombrero usa reflejos (el mosaico en forma de sombrero y su imagen especular), algunos podrían preguntarse si se trata de un conjunto de monotiles aperiódicos de dos mosaicos, no de uno.

La Dra. Goodman-Strauss había planteado esta sutileza en un servidor de listas de mosaicos: "¿Hay un sombrero o dos?" El consenso fue que un monotilo cuenta como tal incluso usando su reflejo. Eso deja una pregunta abierta, dijo el Dr. Berger: ¿Existe un einstein que haga el trabajo sin reflexión?

El Dr. Kaplan aclaró que "el sombrero" no era un invento geométrico nuevo. Es una polikita: consta de ocho cometas. (Toma un hexágono y dibuja tres líneas, conectando el centro de cada lado con el centro de su lado opuesto; las seis formas que resultan son cometas).

"Es probable que otros hayan contemplado esta forma de sombrero en el pasado, pero no en un contexto en el que procedieron a investigar sus propiedades de mosaico", dijo el Dr. Kaplan. "Me gusta pensar que estaba escondido a simple vista".

Marjorie Senechal, matemática del Smith College, dijo: "En cierto sentido, ha estado ahí sentado todo este tiempo, esperando que alguien lo encuentre". La investigación del Dr. Senechal explora el reino vecino de la cristalografía matemática y las conexiones con los cuasicristales.

"Lo que más me sorprende es que este mosaico aperiódico se establece en una cuadrícula hexagonal, que es lo más periódica posible", dijo Doris Schattschneider, matemática de la Universidad de Moravia, cuya investigación se centra en el análisis matemático de mosaicos periódicos, especialmente los del artista holandés MC Escher.

El Dr. Senechal estuvo de acuerdo. "Está sentado justo en los hexágonos", dijo. "¿Cuántas personas van a estar pateándose alrededor del mundo preguntándose, por qué no vi eso?"

Increíblemente, el Sr. Smith luego encontró un segundo einstein. Lo llamó "la tortuga", una polikita hecha no de ocho cometas, sino de 10. Era "increíble", dijo el Dr. Kaplan. Recordó haber sentido pánico; ya estaba "hasta el cuello en el sombrero".

Pero el Dr. Myers, que había realizado cálculos similares, pronto descubrió una conexión profunda entre el sombrero y la tortuga. Y percibió que, de hecho, había toda una familia de einsteins emparentados: una infinidad continua e incontable de formas que se transforman una en la siguiente.

El Sr. Smith no estaba tan impresionado por algunos de los otros miembros de la familia. "Se veían un poco como impostores o mutantes", dijo.

Pero esta familia de einstein motivó la segunda prueba, que ofrece una nueva herramienta para probar la aperiodicidad. Las matemáticas parecían "demasiado buenas para ser verdad", dijo el Dr. Myers en un correo electrónico. "No esperaba un enfoque tan diferente para probar la aperiodicidad, pero todo parecía mantenerse unido mientras escribía los detalles".

La Dra. Goodman-Strauss ve la nueva técnica como un aspecto crucial del descubrimiento; hasta la fecha, solo había un puñado de pruebas de aperiodicidad. Admitió que era "queso fuerte", quizás solo para conocedores empedernidos. Le tomó un par de días procesarlo. "Entonces me quedé estupefacto", dijo.

El Sr. Smith se sorprendió al ver que el trabajo de investigación se unía. "No fui de ayuda, para ser honesto". Apreció las ilustraciones, dijo: "Soy más una persona de imágenes".

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